Bruchterme sind Bestandteil vieler Formeln und werden auch sonst für eine mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten und Gesetzmäßigkeiten, nicht nur innerhalb der Mathematik, häufig benötigt. Die Schüler sollen Routine im Umgang mit Bruchtermen gewinnen und den Einfluss von Umformungen auf die Definitionsmenge sicher überblicken.
Aufstellen, Interpretieren und Auswerten von Bruchtermen
Definitionsmenge bei Bruchtermen mit einer Variablen
Umformen von Bruchtermen
Termumformung von Zähler oder Nenner, Erweitern und Kürzen
Rechnen mit Bruchtermen
Lösen von Bruchgleichungen
Definitionsmenge und Lösungsmenge von Bruchgleichungen mit einer Unbekannten;
Proportionen;
Auflösen von Formeln (
Ph, WR)
2 Einführung des Funktionsbegriffs;
lineare Funktionen und ihre Graphen
Beim Erfassen von Zusammenhängen zwischen Größen und beim Beschreiben von Abhängigkeiten spielt der Begriff der Funktion, weit über die Mathematik hinaus, eine entscheidende Rolle. Die ausführliche Behandlung der linearen Funktionen soll die Schüler mit diesem etwa in den Naturwissenschaften grundlegenden Funktionstyp vertraut machen und dabei auch den Funktionsbegriff
festigen. Beides ist für das weitere Arbeiten mit Funktionen in den nächsten
Jahrgangsstufen eine unabdingbare Voraussetzung.
Funktionsbegriff;
Beispiele von Funktionen
Zuordnungsvorschrift;
Definitionsmenge, Wertemenge;
Funktionsterm, Funktionsgleichung;
Graph im kartesischen Koordinatensystem
( B: Wachstumsvorgänge)
lineare Funktionen
Graph, geometrische Bedeutung der Koeffizienten a, b;
Sonderfall: direkte Proportionalität, Proportionalitätsfaktor
( Ph8: Gesetz von Hooke)
( WR: Zinsformel, Devisenrechnung)
( C: stöchiometrische Berechnungen)
( ITG: Einsatz von Computerprogrammen zur graphischen Darstellung von Geradenscharen)
( V: Zeit-Weg-Diagramme, z. B. Überholvorgänge, Trassierung von Verkehrswegen)
Arbeiten mit linearen Funktionen
u. a. zeichnerische Verfahren beim Lösen linearer Gleichungen bzw. Ungleichungen;
auch intervallweise lineare Funktionen, Betragsfunktion;
Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen
( WR: Beispiele zur linearen Optimierung)
Lösen von Ungleichungen des Typs
bzw.
graphische Darstellung der Vorzeichenverteilung der linearen Terme
3 Lineare Gleichungssysteme
Bereits bei einfachen Problemstellungen sind oft mehrere Größen gesucht. Die Schüler sollen deshalb einen Einblick in das Arbeiten mit mehreren Unbekannten bekommen, lineare Gleichungssysteme kennenlernen und Sicherheit im Umgang mit dem Spezialfall von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gewinnen.
Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten;
Beispiele für Systeme mit mehr als zwei Unbekannten
Zahlenpaare als Elemente der Lösungsmenge, zeichnerische Interpretation;
Gleichsetzverfahren, Einsetzverfahren, Additionsverfahren
Textaufgaben
( Ph: z. B. Mischungsaufgaben, Bewegungsaufgaben)
( V: Überholvorgänge, verantwortliches Verhalten im Verkehr)
Geometrie
1 Vierecke:
allgemeines Viereck, besondere Vierecke, Konstruktionen
Die Fortführung der Figurenlehre durch Betrachtungen zum Viereck gibt viele Möglichkeiten, Kenntnisse aus der Dreiecksgeometrie zu wiederholen und zu vertiefen. Dreieckslehre und Viereckslehre zusammen bilden eine solide Grundlage für reichhaltige geometrische Untersuchungen. In diesem Abschnitt sollen verstärkt wesentliche Beweistechniken vermittelt werden. Die Schüler sollen schließlich in der Lage sein, Voraussetzung und Behauptung klar zu unterscheiden, einfache Beweise selbständig durchzuführen, Kehrsätze zu formulieren und deren Beweisbedürftigkeit einzusehen.
Begriffe beim Viereck
Gegenecken, Gegenwinkel, Gegenseiten;
Diagonalen
Parallelogramm;
Vektorbegriff
Eigenschaften, insbesondere Punktsymmetrie und Erzeugung des Parallelogramms durch Verschieben einer Strecke; Vektoraddition ( Ph8: Kräfte)
Sonderfälle: Quadrat, Rechteck, Raute
Drachenviereck, Trapez
Eigenschaften;
Sonderfälle: Raute, gleichschenkliges Trapez
Viereckskonstruktionen
2 Kreise und Geraden; Umfangswinkel
Tangentenvierecke, Sehnenvierecke, Fasskreisbogenpaare sind für die Schüler neuartige Figuren mit überraschenden, leicht beweisbaren Eigenschaften. An ihnen soll etwas vom Zauber der Geometrie spürbar werden. Dies gilt auch für die regulären Vielecke, die mathematikgeschichtlich gesehen wichtig und in künstlerischer Hinsicht besonders beeindrukend sind.
Kreistangente, Kreissekante
Tangentenkonstruktionen
Tangentenviereck, Sehnenviereck
charakterisierende Eigenschaften;
Sonderfälle
Umfangswinkelsatz mit Anwendungen
Fasskreisbogenpaar;
Sonderfall: Thaleskreis
reguläre Vielecke
Bestimmungsdreieck;
Konstruktion von Sechseck, Zwölfeck,... bzw. von Achteck, Sechzehneck,...;
Hinweis auf das Problem der Konstruierbarkeit
Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
( Ku: Architektur)
3 Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken
Zur Bestimmung des Flächeninhalts von Vielecken ist die Inhaltsformel für Dreiecke das entscheidende Hilfsmittel. Die Schüler sollen die Herleitung der Inhaltsformel für Parallelogramme und für Dreiecke verstehen und in unterschiedlichen Zusammenhängen anwenden können. Auf das allgemeine Problem der Messbarkeit soll dabei nicht eingegangen werden.
Flächeninhalt von Parallelogrammen;
Inhaltsformel für Parallelogramme und für Dreiecke
Additivität des Flächeninhalts, Flächengleichheit kongruenter Figuren
Flächenberechnungen und Konstruktionen als Anwendung
auch Flächenverwandlungen
4 Einführung in die Raumgeometrie:
Lagebeziehungen, Schrägbild, Prisma
Ausgehend vom Quader sollen raumgeometrische Zusammenhänge und Begriffe einsichtig gemacht werden. In diesem Zusammenhang soll auch das Schrägbildverfahren entwickelt werden. Die Beschäftigung mit dem geraden Prisma ist ein erster Schritt zur systematischen Behandlung komplizierterer räumlicher Grundformen in der Mittelstufe und trägt zur weiteren Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens bei.
Punkte, Geraden, Ebenen im Raum
Festlegung einer Ebene;
Begriffe: windschiefe Geraden, Lotgerade, Lotebene, Parallelebene;
Bestimmung von Lagebeziehungen und von Schnittmengen in einfachen Situationen
Schrägbild
Begriffe: Verzerrungswinkel, Verzerrungsfaktor
Hier können auch Grund- und Aufriss verwendet werden; an eine systematische Behandlung der Parallelprojektion ist jedoch nicht gedacht.
( Ku8: Raumdarstellung)
( MT: technisches Zeichnen und CAD)
gerades Prisma
Grund- und Deckfläche, Mantelfläche, Netz;
Zeichnen von Schrägbildern;
Berechnung von Oberfläche und Volumen, Volumenformel;
Anwendungen
( Ph9: Strahlenoptik)
( C: Kristallformen)
