1 Dritte Erweiterung des Zahlenbereichs: die reellen Zahlen
Die Umkehrung des Quadrierens und ihre geometrische Interpretation am Quadrat führen zu der überraschenden Einsicht, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht vollständig ist. Die Schüler begegnen dabei einem mathematikgeschichtlich bedeutsamen Problem. Sie sollen eine Definition der reellen Zahlen kennenlernen, mit den geltenden Rechengesetzen vertraut werden und vor allem Sicherheit im Umgang mit Quadratwurzeln erwerben. Strukturbetrachtungen sollen hier nicht im Vordergrund stehen. Beim Einsatz des neuen Hilfsmittels Taschenrechner ist auf Zweckmäßigkeit, Effizienz und auf kritische Wertung der Ergebnisse zu achten. Die Erläuterung der Taschenrechneranzeige gibt Gelegenheit, auf die Schreibweise von Zahlen mittels Zehnerpotenzen einzugehen (
Ph, WR, C).
Unvollständigkeit der Menge der rationalen Zahlen
z. B. Nachweis, dass die Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats nicht rational ist
( G6, Gr: Pythagoreer)
( W: Zahl und Wirklichkeit; Messbarkeit)
irrationale Zahlen;
Quadratwurzeln;
Menge 
der reellen Zahlen
Intervallschachtelung ( ITG)
Rechnen mit Quadratwurzeln und Wurzeltermen
auch teilweises Radizieren und Rationalmachen des Nenners
Beim Aufstellen eines einfachen Algorithmus zur näherungsweisen Berechnung einer Quadratwurzel und beim Ausführen des Verfahrens mit Hilfe eines Taschenrechners lernen die Schüler die strukturierte Aufbereitung eines Problems kennen. Mit Hilfe eines fertigen Programmtextes zur Wurzelberechnung werden ihnen der grundlegende Aufbau und die Gliederung von Computerprogrammen vermittelt.
2 Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen kommen in vielen Anwendungen der Mathematik vor. Das Lösen quadratischer Gleichungen gehört zum unentbehrlichen Grundwissen. Die Schüler sollen daher die Lösungsverfahren sicher beherrschen.
Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen
Sonderfälle;
im allgemeinen Fall:
quadratische Ergänzung;
Lösungsformel, Diskriminante, Kriterium für die Anzahl der Lösungen;
auch Gleichungen mit Parametern
Satz von Vieta und seine Anwendungen
auch Faktorisieren eines quadratischen Polynoms
François Viète (1540 - 1603)
Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen
insbesondere biquadratische Gleichungen;
exemplarisch: Wurzelgleichungen (Probe!)
Sachaufgaben
Hier bietet sich auch eine Verbindung mit den Themen des Geometrieunterrichts an (z. B. Satzgruppe des Pythagoras, Goldener Schnitt).
( Ph: z. B. Energieerhaltung)
( C11: Massenwirkungsgesetz)
( V: Bremsweg)
3 Quadratische Funktionen und ihre Graphen
Mit den quadratischen Funktionen lernen die Schüler eine Klasse von nichtlinearen Funktionen kennen, die auch in außermathematischen Bezügen immer wieder vorkommen und deren Graphen, die Parabeln, bemerkenswerte Regelmäßigkeit aufweisen. Die quadratischen Funktionen sind wesentlicher Teil des Funktionenvorrats für die Infinitesimalrechnung in der Oberstufe. Mit ihrer Behandlung geht auch eine Vertiefung des Funktionsbegriffs einher.
quadratische Funktionen
und ihre Graphen
Entwicklung der Graphen aus der Normalparabel;
Symmetrie, Scheitel, Nullstellen, Wertemenge
die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion von
keine systematische Behandlung der Umkehrbarkeit einer Funktion
Anwendungen
auch einfache Extremwertprobleme;
Lösen einfacher quadratischer Ungleichungen
( Ph: Wurfbewegungen, Parabolspiegel, Bewegungsenergie)
( S: Werfen, Springen)
( V: Bewegungsenergie)
1 Strahlensatz
Anhand des Strahlensatzes sollen die Schüler erfahren, wie die Geometrie durch die Verwendung algebraischer Methoden für praktische Zwecke verfügbar wird. Andererseits eröffnen sich damit auch weitere Erkenntnisse in der Figurenlehre.
Streckenverhältnisse
Teilung einer Strecke in n gleiche Teile;
Teilung einer Strecke in gegebenem Verhältnis
Strahlensatz
Der Strahlensatz kann z. B. mit der Teilungskonstruktion begründet werden.
Hinweis auf das Problem inkommensurabler Strecken
mathematische Anwendungen
Mittelparallelen im Dreieck;
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck
( Ph: Schwerpunkt)
Sachaufgaben
z. B. Vermessungsaufgaben;
Mess- und Zeichengeräte ( MT)
( Ph: Strahlenoptik)
2 Maßstäbliches Verkleinern und Vergrößern:
zentrische Streckung; Ähnlichkeit
Mit Hilfe der zentrischen Streckung wird maßstäbliches Verkleinern und Vergrößern mathematisch erfasst, die Kongruenzgeometrie wird zur Ähnlichkeitsgeometrie erweitert. Die Schüler sollen ähnliche Figuren erkennen und einschlägige Schlussfolgerungen ziehen können.
zentrische Streckung
Zentrum, Streckungsfaktor;
Grundkonstruktionen;
Geradentreue, Winkeltreue, Verhältnistreue
Hier kann die S-Multiplikation von Vektoren eingeführt werden, um die Abbildungsvorschrift einfacher zu formulieren.
Ähnlichkeit
ähnliche Figuren;
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke;
auch einfache Dreieckskonstruktionen;
Vermessungsaufgaben
( Ek: Landkarten)
3 Satzgruppe des Pythagoras
Der Satz von Pythagoras steht ebenso wie der Goldene Schnitt in interessanten kulturhistorischen Zusammenhängen. Den Schülern soll die Bedeutung der Satzgruppe des Pythagoras für Längenberechnungen in vielfältigen Situationen in der Mathematik und auch in den Naturwissenschaften und der Technik einsichtig werden.
Satz von Pythagoras, Katheten- und Höhensatz
Formulierung auch als Flächensätze;
Umkehrung des Satzes von Pythagoras
( G, Gr: Pythagoras, 580-500 v. Chr.)
mathematische Anwendungen;
Sachaufgaben
Berechnungen an geometrischen Figuren, insbesondere am gleichseitigen Dreieck und am Kreis;
Konstruktionen;
geometrisches Mittel;
Berechnung von Entfernungen
( Ph, Ek)
Goldener Schnitt
goldenes Rechteck, reguläres Fünfeck
( Ku: Proportionen, Ästhetik; MB)
( B: z. B. Blattstellungen, Blütenformen)
( G: Renaissance)
4 Fortführung der Raumgeometrie: Pyramide
Mit der Pyramide lernen die Schüler einen weiteren Körper kennen, an dem geometrisches Wissen ergänzt und vertieft, neu erworbene mathematische Kenntnisse (z. B. Strahlensatz, Satz von Pythagoras) eingesetzt sowie die Raumvorstellung weiter geschult werden können. Zur Volumenberechnung wird als neues Hilfsmittel das Prinzip von Cavalieri eingeführt. Es wird in Jahrgangsstufe 10 wieder aufgegriffen und bereitet auf den Grenzwertbegriff vor.
Pyramide
Grundfläche, Mantelfläche, Netz;
Winkel zwischen Kanten und Grundfläche bzw. zwischen Seitenflächen und Grundfläche;
Sonderfälle: quadratische Pyramide, reguläres Tetraeder
( G: Ägypten)
( Ku: Architektur)
Rauminhalt der Pyramide;
Volumenformel
Das Prinzip von Cavalieri soll plausibel gemacht werden.
Bonaventura Cavalieri (um 1598 - 1647)
Im Zusammenhang mit der Behandlung des regulären Tetraeders wird ein Überblick über die Platonischen Körper gegeben.
( G: Plato, ca. 429 - ca. 348 v. Chr.; Johannes Kepler, 1571 - 1630)
Wahlpflichtgebiete für die mathematisch-naturwissenschaftliche Ausbildungsrichtung
Darstellende Geometrie
1 Grund-Aufriss-Darstellungen
Das Hauptanliegen des Unterrichts in Darstellender Geometrie ist die Förderung des Raumvorstellungsvermögens. Anhand von Grund-Aufriss-Zeichnungen einfacher Körper sollen die Schüler die Einsicht gewinnen, dass räumliche Objekte durch zwei Normalrisse in zueinander senkrechten Bildebenen nach Lage und Größe festgelegt werden können.
Abbilden durch senkrechte Parallelprojektion
Normalrisse einfacher ebenflächig begrenzter Körper
Darstellung von Punkten und Strecken durch Normalrisse in zueinander senkrechten Ebenen
Grundriss, Aufriss, Rissachse;
Anordnung der beiden Risse in der Zeichenebene
Darstellung von Geraden und Ebenen
sich schneidende, parallele und windschiefe Geraden;
Festlegung von Ebenen durch die Risse von Punkten oder Geraden
Darstellung einfacher Körper
2 Konstruktionen
Neben das Darstellen räumlicher Objekte tritt als wichtige Anwendung des Grund-Aufriss-Verfahrens das Konstruieren von Strecken und Winkeln in wahrer Größe sowie von Schnitten und Durchdringungen. An dieser Stelle bietet sich eine gute Gelegenheit, die Schüler zu präzisem Arbeiten zu erziehen und auch ihr ästhetisches Empfinden anzuregen.
wahre Größe von Strecken und ebenen Figuren
Stützdreieck einer Strecke;
Konstruktion des Stützdreiecks aus den Rissen
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene;
Schnittgerade zweier Ebenen
Verwendung von projizierenden Hilfsebenen
ebene Schnitte an Prismen und Pyramiden
eventuell Verwendung von Seitenrissen zur Vereinfachung der Konstruktionen
Durchdringungen bei Prismen und Pyramiden
Beschränkung auf einfache Beispiele
( Ku: Architektur)
( MT, BO: technisches Zeichnen und CAD)
Informatik (Grundlagen)
1 Grundbegriffe
Die Schüler sollen an einem einfachen Beispiel den Ablauf einer Problemlösung von der Aufgabenstellung über das Entwickeln eines Algorithmus bis zum fertigen Programm kennenlernen. Zur Realisierung des Programms müssen sie Einblick in den prinzipiellen Aufbau eines Rechners gewinnen und in die Handhabung des vorhandenen Rechners sowie in den Umgang mit einem Programmiersystem eingeführt werden. Wesentlich dabei ist, dass sich die Schüler beim Dialog mit der Maschine die für den Umgang mit den Informations- und Kommunikationstechniken unerlässliche Fähigkeit des Lernens durch eigene Aktivität aneignen ( BO, MT).
Ablauf einer Problemlösung
Algorithmus, Programm, Prozessor
Aufbau einer EDV-Anlage
Zentraleinheit, Massenspeicher, Ein- und Ausgabegeräte
Handhabung eines Programmiersystems
Betriebssystem, Editor, Compiler bzw. Interpreter
2 Grundlegende Kontroll- und Datenstrukturen
Jede algorithmische Problemlösung lässt sich durch nur drei grundlegende Kontrollstrukturen und dem Problem angepasste Daten beschreiben. Die Übersetzung einfacher Algorithmen in eine Programmiersprache gibt Gelegenheit aufzuzeigen, dass auch komplexe Programme in einer sehr einfachen und überschaubaren Sprache formuliert sind. Auf die beschränkten Ausdrucksmöglichkeiten einer solchen normierten Sprache im Vergleich zur natürlichen Sprache sollte eingegangen werden.
Kontrollstrukturen
Sequenz, Auswahl, Wiederholung
einfache Datenstrukturen
Zahlen, Zeichen, Zeichenketten, Wahrheitswerte; Variable, Konstante
Einführung in die Syntax einer Programmiersprache
Programmieren der drei Kontrollstrukturen und einfacher Datenstrukturen
3 Mathematische Algorithmen
Das Entwickeln von Algorithmen fördert die Fähigkeit zu strukturellem und konstruktivem Denken ( W). Anhand mathematischer Probleme, insbesondere aus dem Lehrstoff der Jahrgangsstufe, sollen die Schüler die Erzeugung numerischer Lösungen kennenlernen.
Entwickeln algorithmischer Lösungen von mathematischen Problemen
auch Schachtelung von Wiederholungen und Auswahlen
Formulieren algorithmischer Problemlösungen als Computerprogramm
Beachtung der Gesichtspunkte des strukturierten Programmierens
Testen und Verbessern von Programmen
z. B. Vergleich verschiedener Abbruchkriterien
