Das Untersuchen reeller Funktionen ist die zentrale Aufgabe der Infinitesimalrechnung in der Schule. Ausgehend von bereits aus der Mittelstufe bekannten Funktionen, sollen die Schüler den allgemeinen Begriff der reellen Funktion kennenlernen, mit den zugehörigen Fachausdrücken vertraut werden und sie sachgerecht anwenden können.
reelle Funktionen;
Eigenschaften
Grundbegriffe:
Definitionsmenge, Zuordnungsvorschrift, Wertemenge, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktionsgraph;
weitere Begriffe:
Symmetrie des Funktionsgraphen, Monotonie, Extremum, Nullstelle;
sorgfältige rechnerische und zeichnerische Behandlung einfacher Beispiele unter obigen Gesichtspunkten
(
Ph: Zeit-Ort-Funktionen)
( WR: z. B. Kostenfunktionen)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Johann Bernoulli (1667 - 1748)
Umkehrbarkeit einer Funktion,
Umkehrfunktion
Umkehrbarkeit streng monotoner Funktionen;
Zusammenhang zwischen den Graphen von Funktion und Umkehrfunktion;
Bestimmen des Terms der Umkehrfunktion
Verknüpfung von Funktionen
Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verkettung
2 Grenzwert und Stetigkeit
Einen ersten Zugang zum systematischen Studium reeller Funktionen erhalten die Schüler durch die Untersuchung des Verhaltens einer Funktion in der Umgebung einer Stelle oder bei unbeschränkt wachsendem Argument. Dies soll den sicheren Umgang mit den wichtigen Begriffen Grenzwert und Stetigkeit vorbereiten und dabei die Schüler mit der mathematischen Behandlung des "Unendlich-Kleinen" und des "Unendlich-Großen" bekannt machen. Hier ist es besonders wichtig, die Schüler zu sorgfältigem Sprachgebrauch anzuhalten ( DS).
Grenzwertbegriff;
Verhalten einer Funktion für
Konvergenz, bestimmte und unbestimmte Divergenz
Schreibweisen wie
Hier bietet sich die Möglichkeit, auf Grenzwerte von Zahlenfolgen einzugehen.
( Ph11: mittlere Geschwindigkeit, Momentangeschwindigkeit)
( W: Unendlichkeit)
Grenzwertsätze für Verknüpfungen von Funktionen
Exakte mathematische Begründungen dieser Sätze sind nicht erforderlich.
Grenzwerte rationaler Funktionen können mit Hilfe dieser Sätze auf die Grenzwerte der Funktionen
zurückgeführt werden.
Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle der Definitionsmenge;
Stetigkeit in einem Intervall
Stetigkeitsuntersuchungen bei intervallweise definierten Funktionen
( Ph: Supraleitung, Kippschwingungen)
( WR: Steuertarif, Portofunktion)
( W: "natura non facit saltus", Chaostheorie)
Stetigkeitssätze für Verknüpfungen von Funktionen
Mit Hilfe dieser Sätze wird die Stetigkeit insbesondere der rationalen Funktionen erkannt.
stetige Fortsetzung einer Funktion;
stetige Fortsetzung von
Vollständigkeit von 
und Zwischenwertsatz
Es genügt, den Zwischenwertsatz anschaulich plausibel zu machen.
Deutung der Vollständigkeit von an der Zahlengeraden;
Anwendung beim Nachweis der Existenz von Nullstellen
Anstatt des hier vorgesehenen Weges "Grenzwert vor Stetigkeit" kann die Stetigkeit an den Anfang gestellt und der Grenzwert anschließend behandelt werden.
3 Differenzieren reeller Funktionen
Die Einführung der Ableitung einer reellen Funktion stellt einen bedeutenden Fortschritt in der Entwicklung der Mathematik dar ( G: Isaac Newton, 1642 - 1727; Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716). Die Schüler sollen erfahren, wie sich das Änderungsverhalten einer Funktion durch die Ableitungsfunktion präzise beschreiben lässt und Monotonie sowie Extrema damit rechnerisch zugänglich werden. Ihr bisheriges Instrumentarium zur systematischen Untersuchung reeller Funktionen wird so entscheidend vergrößert. Fertigkeit in der Technik des Differenzierens ist auch wesentlich im Hinblick auf die spätere Integralrechnung und dienlich für andere Fächer, insbesondere für die Physik.
Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt;
Ableitung einer Funktion an einer Stelle der Definitionsmenge;
Tangenten an einen Graphen
Differenzenquotient, Differentialquotient;
Bestimmen der Ableitung in einfachen Fällen;
Aufstellen von Tangentengleichungen
( Ph11: Momentangeschwindigkeit)
( C: Geschwindigkeit chemischer Reaktionen)
( WR: Änderungsraten)
Ableitungsfunktion
Bestimmen der Ableitungsfunktionen von:
Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen
Als Begründung genügen Plausibilitätsbetrachtungen. Die Beweisbedürftigkeit soll den Schülern deutlich gemacht werden.
Auf den Mittelwertsatz soll hingewiesen werden.
Bestimmen der Monotonieintervalle und der lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion
Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Ableitungsregeln für Summe und Produkt
Sonderfälle: Ableitungsfunktionen von
höhere Ableitungen
insbesondere Bedeutung der 2. Ableitung für die Krümmung des Funktionsgraphen, Wendepunkte
( Ph11: beschleunigte Bewegung)
( V: Beschleunigen, Bremsen; Gefahren unangepasster Geschwindigkeit)
ganzrationale Funktionen
Untersuchung des Graphen auf Symmetrie bezüglich der y-Achse oder bezüglich des Ursprungs;
Verhalten für 
Teilbarkeit des Funktionsterms f(x) durch
Hinweis auf den Satz von der maximalen Anzahl der Nullstellen;
Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
auch Untersuchung intervallweise ganzrationaler Funktionen
Kettenregel
Darlegung der Beweisidee;
Übung anhand vielfältiger Beispiele
( Ph: harmonische Schwingung)
Quotientenregel
Begründung mit Hilfe der Produktregel
4 Kurvendiskussion; Extremwertprobleme
Der nunmehr erreichte Kenntnisstand ermöglicht es den Schülern, den Verlauf eines Funktionsgraphen rasch zu ermitteln. Für die Suche nach Extrempunkten und nach Wendepunkten werden dabei notwendige bzw. hinreichende Kriterien entwickelt und eingesetzt. Insbesondere die Frage nach Maxima und Minima spielt in der Praxis bei funktionalen Zusammenhängen eine wichtige Rolle. Extremwertprobleme sollen daher mit den Schülern eingehend behandelt werden.
Kurvendiskussion;
Gesichtspunkte:
maximale Definitionsmenge, Wertemenge;
Symmetrie des Graphen bezüglich einer Geraden 
oder bezüglich eines Punktes;
Nullstellen;
notwendige Kriterien und hinreichende Kriterien für lokale und globale Eigenschaften des Funktionsgraphen
Verhalten am Rand der Definitionsmenge;
Monotonieverhalten, Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte;
Krümmungsverhalten, Wendepunkte;
Zeichnen des Graphen unter Verwendung der ermittelten Eigenschaften
Bestimmen von ganzrationalen Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
auch Hinweis auf Interpolationspolynome
Kurvenscharen
auch Ortskurven ausgezeichneter Punkte; Möglichkeit zum Computereinsatz
( Ph: Kinematik)
Extremwertprobleme
inner- und außermathematische Beispiele;
Deutung der gefundenen Lösung
( Ph: Brechungsgesetz)
( WR: z. B. Kostenfunktion)
( MT: Optimierungsprobleme)
Wahlpflichtgebiete für die mathematisch-naturwissenschaftliche Ausbildungsrichtung
(Die Auswahlvorschriften sind in den Vorbemerkungen genannt.)Komplexe Zahlen (Grundlagen)
1 Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen; Strukturen
Bei einem Blick auf den in Unter- und Mittelstufe zurückgelegten Weg von den natürlichen bis zu den reellen Zahlen lassen sich wesentliche Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen herauskristallisieren. Die Schüler sollen bei der Betrachtung der bekannten Zahlenbereiche den Sinn der Einführung der Strukturen Gruppe und Körper einsehen und dabei die Möglichkeit erhalten, über die Grenzen der Schulmathematik hinauszublicken.
Zahlenbereichserweiterungen von 
bis ;
Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen;
die Strukturen Gruppe und Körper
Auf die historische Entwicklung des Zahlenbegriffs soll eingegangen werden.
Richard Dedekind (1831 - 1916)
2 Vierte Erweiterung des Zahlenbereichs: die komplexen Zahlen
An Hand historischer Betrachtungen zum Lösen algebraischer Gleichungen sollen die Schüler insbesondere erfahren, dass die Verwendung der imaginären Einheit i durch Euler zwar erfolgreich, aber letztlich mathematisch ohne Fundament war und erst im 19. Jahrhundert auf eine exakte Grundlage gestellt werden konnte.
der historische Weg zu den komplexen Zahlen
Geronimo Cardano (1501 - 1576)
Rafael Bombelli (1526 - 1572)
Rafael Bombelli (1707 - 1783)
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Konstruktion der komplexen Zahlen;
der Körper 
komplexe Zahl als Paar reeller Zahlen;
Realteil, Imaginärteil;
Menge der komplexen Zahlen;
Definition von Addition und Multiplikation in ;
Einbettung von in ;
Summenschreibweise komplexer Zahlen;
Struktur von
3 Rechnen mit komplexen Zahlen; Lösen von Gleichungen in 
Veranschaulichung und Deutung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene lassen Anwendungsmöglichkeiten innerhalb der Mathematik sowie in Naturwissenschaft und Technik sichtbar werden. Die Kreisteilungsgleichungen und der Fundamentalsatz der Algebra sind Glanzpunkte in der Entwicklung der Mathematik; die Schüler sollen beide kennenlernen und in diesem Zusammenhang eine Abrundung der bisherigen Gleichungslehre erleben.
Veranschaulichung komplexer Zahlen;
konjugiert komplexe Zahl 
einer komplexen Zahl z,
Betrag einer komplexen Zahl
Gaußsche Zahlenebene;
geometrische Deutung der Addition
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Grundrechenarten
auch Lösen quadratischer Gleichungen
Polarform komplexer Zahlen
Anwendung bei Multiplikation und Division, Formel von Moivre;
geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
( Ph: Wechselstromwiderstände, Schwingungen)
reine Gleichungen,
Kreisteilungsgleichungen
Bestimmen der Lösungsmenge;
Gruppe der n-ten Einheitswurzeln,
Zusammenhang mit regulären Vielecken
Fundamentalsatz der Algebra
Überblick über die Lösungsmengen quadratischer bzw. kubischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten;
Mitteilung des Fundamentalsatzes,
Linearfaktorzerlegung als Folgerung;
algebraische Abgeschlossenheit von ;
Hinweis auf den Satz von Abel
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Niels Henrik Abel (1802 - 1829)
Evariste Galois (1811 - 1832)
Komplexe Zahlen (Abbildungen)
Abbildungen in der Zahlenebene
Die Schüler sollen lernen, Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene analytisch zu beschreiben und nicht zu schwierige Abbildungen von in zu überblicken. Im Vordergrund steht hierbei der geometrische Aspekt. Im Zusammenhang mit der Spiegelung am Einheitskreis sollen die Schüler mit der Riemannschen Zahlenkugel eine überraschende Veranschaulichung komplexer Zahlen kennenlernen. Die Untersuchung von Folgen komplexer Zahlen, die durch wiederholte Anwendung einer Abbildung erzeugt werden, macht mit der wichtigen mathematischen Methode der Iteration bekannt und führt zu Juliamengen und zur Mandelbrotmenge. Veranschaulichungen dieser fraktalen Gebilde sind von hohem ästhetischem Reiz.
Darstellung einfacher Punktmengen in der Zahlenebene
Parallelen zur reellen und zur imaginären Achse, Ursprungsgeraden, Kreislinien;
Parallelstreifen, Rechtecke, Kreisscheiben, Kreisringe, Kreissektoren;
Bestimmen geometrischer Örter,
z. B. Thaleskreis, Kreis des Apollonius;
Erkennen von Punktmengen, die in Parameterform gegeben sind
elementare Abbildungen von in
auch Verkettungen dieser Abbildungen;
Betrachtungen hinsichtlich Längentreue, Winkeltreue, Fixpunkten, Fixgeraden;
Involutionen;
Bestimmen der Bilder einfacher Punktmengen
die Spiegelung am Einheitskreis
unendlich ferner Punkt, Riemannsche Zahlenkugel;
Spiegeln am Einheitskreis mit Zirkel und Lineal;
Bestimmen der Bilder einfacher Punktmengen
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
weitere nichtlineare Abbildungen von in
insbesondere 
( Ph: Umströmung von Tragflächen, Shukowski-Profil)
durch Iteration erzeugte Folgen komplexer Zahlen
einfache Iterationen, z. B.
Deutung in der Zahlenebene;
Juliamengen und Mandelbrotmenge
Gaston Julia (1893 - 1978)
Benoit Mandelbrot (geb. 1924)
( W: Chaostheorie)
( Ku: Computergraphik)
Sphärische Trigonometrie (Grundlagen)
1 Geometrie auf der Kugel
In der Kugelgeometrie müssen die Schüler viele aus der ebenen Geometrie vertraute Begriffe und Zusammenhänge neu überdenken. An die Stelle von Geraden treten Großkreise, das Parallelenaxiom gilt nicht mehr, und die Winkelsumme ist überraschenderweise nicht mehr für alle Dreiecke gleich. Die Schüler erfahren dabei, dass geometrische Aussagen nur einen bestimmten Geltungsbereich haben, und sie erkennen, wie wichtig die Wahl eines geeigneten mathematischen Modells zur Lösung von Anwendungsproblemen ist.
Großkreise und Kleinkreise auf der Kugeloberfläche
geographisches Koordinatensystem ( Ek)
kürzeste (sphärische) Verbindung zweier Kugelpunkte
Kugelzweieck
Seiten, Winkel;
Flächeninhalt
Kugeldreieck
Es werden hier und im folgenden nur Eulersche Kugeldreiecke betrachtet.
Festlegung von Seiten und Winkeln am Dreikant;
Flächeninhalt;
Polardreieck
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Sätze über Seiten und Winkel im Kugeldreieck
Seitensumme, Winkelsumme;
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln
Dabei lässt sich durch Übergang zum Polardreieck zu jedem Satz die polare Übertragung gewinnen.
2 Berechnungen im Kugeldreieck
Die Herleitung der Grundformeln des Kugeldreiecks gibt den Schülern Gelegenheit, ihre trigonometrischen Kenntnisse aufzufrischen und zu festigen. Das systematische Bearbeiten der Grundaufgaben ermöglicht es, die später auftretenden Anwendungsprobleme zu lösen. Anhand von geeigneten Zeichnungen und Modellen soll das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützt und weiterentwickelt werden.
Grundformeln der sphärischen Trigonometrie:
Sinussatz;
Seitenkosinussatz;
Winkelkosinussatz
Herleitung des Winkelkosinussatzes aus dem Seitenkosinussatz durch Übergang zum Polardreieck
Lösen der Grundaufgaben
Berechnungen im Kugeldreieck
Anwendungen auf die Erdkugel
Entfernung zweier Erdorte;
Kurswinkel, Hinweis auf Loxodrome;
Abstand eines Punktes von einem Großkreis
( Ek: Geodäsie)
Anstatt Sinussatz und Seitenkosinussatz direkt aus Betrachtungen am Dreikant zu gewinnen, kann auch zunächst das rechtwinklige Kugeldreieck behandelt und dann das allgemeine Kugeldreieck entsprechend zerlegt werden.
Sphärische Trigonometrie
(Anwendungen auf die Erd- und Himmelskugel)
1 Mathematische Geographie
Zu Beginn der Neuzeit ergab sich vor allem bei der Seefahrt verstärkt die Notwendigkeit, sichere Methoden zur Ortsbestimmung zu finden. Anhand von Peilungsproblemen sollen die Schüler einen ersten Eindruck vom Anwendungsreichtum der sphärischen Trigonometrie gewinnen. Die Beschäftigung mit Kartenentwürfen zeigt die grundsätzlichen Schwierigkeiten auf, die bei der Abbildung der Kugeloberfläche in die Ebene entstehen.
Peilungsprobleme
Fremdpeilung;
Eigenpeilung durch Bestimmung der Peilwinkelgleichen, z. B. mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms;
Bestimmung von Erdbebenzentren
Kartenentwürfe
Hier ist zunächst nur an einen Überblick über die drei Haupttypen Zylinderentwurf, Azimutalentwurf und Kegelentwurf gedacht.
Begriffe: Längentreue, Winkeltreue, Flächentreue;
Unmöglichkeit der Abwicklung einer Kugeloberfläche in die Ebene
exemplarische Behandlung eines der drei Kartenentwurfstypen
Bestimmung der Abbildungsgleichungen;
Zeichnen des Netzentwurfs;
Abbildungseigenschaften
( Ek: Geodäsie)
2 Mathematische Astronomie
Die mathematische Astronomie beschäftigt sich mit den scheinbaren Bewegungen der Himmelskörper infolge der täglichen Drehung der Erde. Die Schüler lernen mit der Himmelskugel ein Modell kennen, an dem sie ihre mathematischen Kenntnisse zur Lösung nautischer Probleme einsetzen können.
Himmelskugel als mathematisches Modell
Sternenhimmel, Ekliptik, Bewegung der Planeten
( Ph11)
( W: Entwicklung des naturwissenschaftlichen Weltbilds)
Koordinatensysteme der mathematischen Astronomie
Horizontsystem, Äquatorsystem;
nautisches Dreieck;
Bestimmung der geographischen Breite
( Ph: Astronomie)
Grundbegriffe der Zeitrechnung
tägliche und jährliche Bewegung der Sonne;
wahre Ortszeit, mittlere Ortszeit, Zonenzeit
