4 Rationale Funktionen
Mit den gebrochenrationalen Funktionen lernen die Schüler Funktionen kennen, welche in Naturwissenschaft und Technik interessante Anwendungen haben. Die Schüler erhalten damit einen sinnvollen Abschluss ihrer Ausbildung auf dem Gebiet der Infinitesimalrechnung.
rationale Funktionen und ihre Eigenschaften;
Kurvendiskussionen
Definitionsmenge;
Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
Verhalten an den Definitionslücken und im Unendlichen;
stetige Fortsetzung, Polstellen;
Asymptoten
(
Ph: z. B. Abbildung durch optische Linsen, Parallelschaltung von Widerständen, Satellitenbewegung, Van-der-Waals-Gleichung realer Gase)
Analytische Geometrie
1 Rechnen mit Vektoren im Anschauungsraum
Der Vektorbegriff ist bereits in der ebenen Geometrie der Mittelstufe anschaulich eingeführt worden und hat auch in der Physik gute Dienste geleistet. Daran anknüpfend soll er nun im Anschauungsraum erklärt werden. Hier sollen die Schüler auch den sicheren Umgang mit Vektoraddition und S-Multiplikation lernen.
Vektorbegriff
Vektor als Menge aller parallelgleichen Pfeile im Anschauungsraum, Repräsentanten eines Vektors, Deutung eines Vektors als Translation;
Darstellung von Vektoren in einem Koordinatensystem als 2- bzw. 3-Tupel reeller Zahlen
( Ph: z. B. Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte, Feldstärken)
Vektoraddition, S-Multiplikation;
anschauliche Motivation durch Verkettung von Translationen bzw. durch die zentrische Streckung;
Rechengesetze;
reeller Vektorraum
Hinweis auf ein nichtgeometrisches Beispiel eines reellen Vektorraums
2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Die Verbindung von Vektoraddition und S-Multiplikation führt zu Linearkombinationen von Vektoren. Von dort gelangt man weiter zum Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren und zu den Begriffen Basis und Dimension eines Vektorraums. Beim Versuch, einen Vektor als Linearkombination von Vektoren zu schreiben, ergeben sich in natürlicher Weise lineare Gleichungssysteme. Die Schüler sollen die neuen Begriffe sachgerecht verwenden und die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten sicher bestimmen lernen.
Linearkombination von Vektoren;
lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Veranschaulichung durch kollineare bzw. komplanare Vektoren;
einfache geometrische Anwendungen
Basis und Dimension eines Vektorraums
lineare Gleichungssysteme
homogene und inhomogene Systeme mit zwei oder drei Unbekannten
Hier können auch zwei- bzw. dreireihige Determinanten verwendet werden, etwa zum Testen der linearen Abhängigkeit.
3 Koordinatendarstellung von Vektoren und von Punkten
Nach Wahl eines Bezugspunktes kann man die Lage eines jeden Punktes im Anschauungsraum durch einen Vektor eindeutig beschreiben. Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen dem seit langem vertrauten Begriff des Koordinatensystems in der Ebene bzw. im Anschauungsraum und dem neuen Begriff der Basis des Vektorraums 
bzw. 
verstehen.
Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis
Eindeutigkeit der Basisdarstellung;
insbesondere Verwendung der Standardbasis des bzw. des
Punkte und ihre Ortsvektoren,
Koordinatensysteme
Unterscheidung zwischen Vektorraum und Punktraum
Teilverhältnis
innere und äußere Teilung einer Strecke;
Mittelpunkt einer Strecke, Schwerpunkt eines Dreiecks
4 Geraden- und Ebenengleichungen
in Vektor- und Koordinatenschreibweise
Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum. Die Schüler sollen lernen, anschaulich zu argumentieren und die Darstellungsformen sorgfältig zu unterscheiden. Sie sollen auch Sicherheit in der zeichnerischen Darstellung einfacher räumlicher Situationen gewinnen.
Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform
Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung;
geeignete Zeichnungen und Skizzen
Geraden- und Ebenengleichungen in Koordinatenform
Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;
Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;
Achsenabschnittsform;
Spurpunkte und Spurgeraden;
achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;
zeichnerische Darstellungen
5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Dabei wird auf die Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme zurückgegriffen.
Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene
auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen
Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;
auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen
6 Skalarprodukt von Vektoren,
Längen- und Winkelberechnungen
Bisher fehlen in der Analytischen Geometrie die Mittel für Längen- und Winkelberechnungen. Diese Lücke wird nun mit dem Skalarprodukt geschlossen, für das man etwa mit dem Begriff der physikalischen Arbeit Interesse wecken kann. Die Schüler sollen Längen und Winkel sicher berechnen können und an einigen Beispielen den Zusammenhang mit der Elementargeometrie erkennen.
Skalarprodukt zweier Vektoren
Beschränkung auf das Standardskalarprodukt;
Rechengesetze
( Ph: Arbeit)
Längen- und Winkelberechnungen
Betrag eines Vektors, Winkel zweier Vektoren;
Einheitsvektoren, orthogonale Vektoren;
Entfernung zweier Punkte, Winkel zwischen zwei Geraden;
Zusammenhang mit der Elementargeometrie (z. B. Satz von Pythagoras, Satz von Thales);
Kreisgleichungen, Kugelgleichungen
7 Normalenformen von Geraden- bzw. Ebenengleichungen,
geometrische Anwendungen
Die Schüler sollen verstehen, dass man die Koordinatenform von Geraden- und Ebenengleichungen mit Hilfe des Skalarprodukts als Normalenform auffassen kann. Sie sollen weiter die Bedeutung der Hesseschen Normalenform einsehen und Sicherheit in ihrer Anwendung bei Abstandsproblemen gewinnen.
Normalenvektor einer Geraden bzw. einer Ebene;
Geraden- und Ebenengleichungen in Normalenform
orthogonale Geraden und Ebenen;
skalare und vektorielle Schreibweise
Hessesche Normalenform;
geometrische Anwendungen
Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. von einer Ebene
Otto Hesse (1811 - 1874)
Lehrplanalternative Mathematik (Informatik)
Mathematische Grundlagen
1 Folgen
Bei einer Vielzahl von Problemen erfolgt die numerische Lösung durch schrittweises Berechnen von Näherungswerten, meist durch die Auswertung einer rekursiv dargestellten Folge. Die Schüler lernen, verschiedene Folgentypen zu unterscheiden und Glieder einer Folge zu berechnen, sie müssen aber auch in der Lage sein, Bildungsgesetze zu erkennen und zu formulieren. Die Vollständige Induktion dient dabei im wesentlichen zum Nachweis der Übereinstimmung der expliziten mit der rekursiven Darstellung einer Folge und sollte nicht zu sehr vertieft werden.
arithmetische Folgen erster und höherer Ordnung;
geometrische Folgen
explizite und rekursive Darstellung einer Zahlenfolge;
Ermittlung des Bildungsgesetzes;
Auswerten einer Messreihe, z. B. bei beschleunigter Bewegung ( Ph);
Erstellen von Programmen zum Berechnen der Glieder einer Folge
Vollständige Induktion
Erklärung an einfachen Beispielen;
Hinweis auf die Bedeutung der Vollständigen Induktion bei der Verifikation von Algorithmen
2 Differenzengleichungen
Mit Hilfe von Differenzengleichungen lassen sich unter anderem Wachstums- und Abklingvorgänge sowie Angebots- und Nachfragezyklen untersuchen und Zins- und Rentenberechnungen durchführen. Beim Aufstellen und Lösen von Differenzengleichungen sollen die Schüler einerseits Praxisnähe erfahren, andererseits typische Vorgehensweisen bei der Modellbildung kennenlernen.
numerische Lösung einer Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten und konstanter Inhomogenität
graphische Darstellung der Lösung im
auch Lösung einer allgemeinen Differenzengleichung erster Ordnung
( WR: Tilgung eines Darlehens)
die Lösungsfälle der Tilgungsgleichung
Ermittlung der geschlossenen Lösung;
Diskussion der Lösung in Abhängigkeit von den Parametern;
Konvergenzuntersuchungen
lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung
Beschränkung auf die verallgemeinerte Fibonacci-Gleichung
Ermittlung der geschlossenen Lösung;
Berechnungsformel der klassischen Fibonacci-Zahlen
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci
(ca. 1170 - ca. 1240)
Modellbildung mit Differenzengleichungen
Diskretisierung dynamischer Prozesse, z. B. beim Räuber-Beute-Problem oder bei der Bewegung im Gravitationsfeld ( B, Ph);
nur numerische Lösung der Differenzengleichungen
Projektarbeit
Phasen eines Projekts
Die immer komplexer werdenden Aufgaben in Naturwissenschaft und Technik führen dazu, dass die Projektarbeit zur vorherrschenden Arbeitsform in diesen Bereichen wird. Projektarbeit als Verfahren zum Erstellen eines Software-Produkts wird zunächst als Lerngegenstand thematisiert. Hierbei lernen die Schüler, wie man ein Projekt in Phasen gliedern kann. Anschließend sollen sie an zwei der drei beschriebenen Projekte die Methode der Projektarbeit als Mittel zur Bewältigung inhaltlich und organisatorisch komplexer Aufgaben begreifen und lernen, Teile eines Projekts selbst durchzuführen.
Konzeptionsphase
Ist-Analyse, Soll-Konzept, Durchführbarkeitsstudie, Projektplanung
Realisierungsphase
Modularisierung, Modulerstellung, Systemintegration, Installation, Funktionsüberprüfung
Bewertungsphase
Qualitätskriterien nach DIN 66 234;
Wartbarkeit, Anpassbarkeit, Portabilität;
Effizienzuntersuchungen
Es werden zwei der folgenden Projekte behandelt:
1 Stochastische Prozesse
Besonderes Gewicht soll bei diesem Projekt auf die Konzeptionsphase gelegt werden.
stochastische Beschreibung von Zufallsprozessen
Wiederholung der Begriffe Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit;
Zufallszahlen;
Erwartungswert, z. B. für die Augensumme beim Wurf zweier Würfel;
mittlere Spieldauer, z. B. bei einer Irrfahrt
Nachbildung eines stochastischen Prozesses auf dem Computer mit Hilfe von Pseudozufallszahlen
Erzeugen und Prüfen von Pseudozufallszahlen in Gruppenarbeit;
graphische Darstellungen
Konzeption eines Programms zur Simulation von Zufallsprozessen mit Hilfe von Markow-Ketten
Beschränkung auf endliche homogene Markow-Ketten;
Graph eines Zufallsprozesses;
Zustände, Übergänge;
Besetzungsvektor, Übergangsmatrix;
Erstellen eines Anforderungskatalogs für das Programm
A. A. Markow (1856 - 1922)
Hinweise zur Projektdurchführung:
Um ein Programm zur Auswertung der Markow-Kette zu entwickeln, müssen zunächst im Rahmen der Soll-Konzeption das Aussehen des Programms und die Bedienungs- und Veränderungsmöglichkeiten diskutiert und festgelegt werden. Es entsteht ein Anforderungskatalog, der die Projektplanung abschließt.
Je nach Arbeitsfortschritt des Kurses können das Programm oder Teile davon realisiert werden, oder man kann den Schülern ein fertiges Programm zur Verfügung stellen. Die weitere Arbeit besteht nun darin, konkrete Aufgaben zu analysieren, auf das Modell zu übertragen, zu lösen und die Ergebnisse schließlich zu interpretieren. Qualitätsmerkmale und Einsatzmöglichkeiten des Programms müssen herausgearbeitet werden.
2 Lineare Optimierung
Besonderes Gewicht soll bei diesem Projekt auf die Realisierungsphase gelegt werden.
lineare Optimierungsprobleme,
graphische Lösung
Mathematisieren einfacher Aufgaben zur Optimierung, z. B. Produktions-, Transport-, Mischungs- oder Verschnittprobleme
( WR, MT);
Normalform des Maximumproblems;
Begriffe: Zielfunktion, Nebenbedingungen;
graphisches Lösungsverfahren für Aufgaben mit zwei Variablen
Realisierung eines Programms zum Lösen linearer Optimierungsprobleme
Erläuterung des regulären Simplexverfahrens;
Modularisierung des Verfahrens;
Modulprogrammierung;
Modultest;
Systemintegration
Lösen linearer Optimierungsprobleme mit dem erstellten Programm
Lösen eines Optimierungsproblems mit mindestens drei Variablen;
Diskussion der Einsatzmöglichkeiten des Programms
Hinweise zur Projektdurchführung:
Nach einem kurzen Hinweis auf die mathematischen Grundlagen wird das Simplexverfahren, z. B. in Form eines Programmablaufplans, vorgestellt. Auf eine mathematische Herleitung des Algorithmus und ausführliche Begründungen muss verzichtet werden.
Der Hauptteil der Projektarbeit entfällt auf die Realisierungsphase. Bei der gemeinsamen Modularisierung des Verfahrens entstehen Arbeitsaufträge für einzelne Gruppen zum Programmieren und Testen der Module und zur Systemintegration. Als Ergebnis steht ein Programm zur Lösung linearer Optimierungsprobleme zur Verfügung. Zumindest ein komplexeres Problem sollte mit diesem Programm gelöst werden. Dabei sollten Qualitätsmerkmale und Einsatzmöglichkeiten des Programms wenigstens angesprochen werden.
3 Differentialgleichungen
Besonderes Gewicht soll bei diesem Projekt auf die Bewertungsphase gelegt werden.
numerische Verfahren zum Lösen linearer Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
Mathematisieren geeigneter Situationen, z. B. radioaktiver Zerfall, begrenztes Wachstum oder gedämpfte Schwingungen ( Ph);
verschiedene Lösungsverfahren, z. B. Euler-Cauchy-, Halbschritt-, Runge-Kutta-Verfahren
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)
Carl Runge (1856 - 1927)
M. W. Kutta (1869 - 1944)
Erstellen einer Prozedurbibliothek für die behandelten Iterationsverfahren
Formulieren eines Iterationsalgorithmus für Differentialgleichungen erster Ordnung, Umsetzen in ein Programm
Einsatz, Bewertung und Dokumentation eines Programms zum Lösen linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
Prüfung der Qualität und der Effizienz des Programms;
Beurteilung der Iterationsverfahren durch den Vergleich numerischer mit analytischen Lösungen
Hinweise zur Projektdurchführung:
Nach der Analyse verschiedener Beispiele wird die Projektplanung für das Erstellen eines Programms zum Lösen linearer Differentialgleichungen durchgeführt. Die Schüler entwickeln arbeitsteilig Programmbausteine für verschiedene Lösungsverfahren. Mit Hilfe eines bereits fertigen Benutzerumfeldes, in das die Programmbausteine eingesetzt werden, lässt sich die Realisierungsphase abkürzen.
Bei der Bewertung des nun vorliegenden Programms muss vor allem die Genauigkeit der Lösungen überprüft werden. Durch die Anwendung auf Gleichungen, die sich analytisch lösen lassen, kann die Abweichung der Näherungslösung von der exakten Lösung in Abhängigkeit von der Schrittweite bzw. der Schrittzahl und dem gewählten Verfahren festgestellt werden.
Im Hinblick auf mögliche Einsatzbereiche und Anwender sollten Qualitätsmerkmale wie Aufgabenangemessenheit, Selbsterklärungsfähigkeit, Steuerbarkeit, Verlässlichkeit, Fehlertoleranz und Fehlertransparenz (DIN 66 234) arbeitsteilig geprüft und gemeinsam diskutiert werden.
